Giao hoán

Phép cộng có tính giao hoán: người ta có thể thay đổi vị trí các đối tượng trong một phép cộng, và kết quả là như nhau. Một cách tượng trưng, nếu a và b là hai số bất kỳ, thì

a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}

Thực tế, tính giao hoán trong phép cộng là một phần của "quy tắc giao hoán". Phép nhân cũng có tính giao hoán, nhưng nhiều phép toán khác thì không, ví dụ như phép trừ và phép chia.

Kết hợp

Phép cộng có tính kết hợp: khi cộng ba hay nhiều số, thứ tự thực hiện phép toán không quan trọng.

Ví dụ, biểu thức a + b + c nên được định nghĩa là (a + b) + c hay a + (b + c)? Cho rằng phép cộng có tính kết hợp, sự lựa chọn định nghĩa là không liên quan. Với ba số a, b và c bất kỳ, thì (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ: (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Khi phép cộng được sử dụng cùng với các phép toán khác, thứ tự thực hiện phép toán trở nên quan trọng. Trong thứ tự thực hiện phép toán tiêu chuẩn, phép cộng có mức độ thấp hơn lũy thừa, căn bậc n, phép nhân và phép chia, nhưng được ưu tiên ngang với phép trừ.

Yếu tố nhận dạng

Khi cộng số không vào bất kỳ số nào, số lượng không thay đổi; không là phần tử đơn vị được cộng vào, còn được gọi là đơn vị cộng. Cho a bất kỳ,

a + 0 = 0 + a = a {\displaystyle a+0=0+a=a}

Định luật này lần đầu tiên được xác định trong Brahmasphutasiddhanta của Brahmagupta năm 630, mặc dù nó được ông viết thành ba định luật riêng biệt, tùy thuộc vào việc a là âm, dương hay không, vào ông đã sử dụng các từ ngữ thay vì các ký hiệu đại số. Các nhà toán học Ấn Độ sau này đã tinh chỉnh khái niệm này; vào khoảng năm 830, Mahavira đã viết, "số không trở thành giống như những gì được thêm vào nó", tương ứng với tuyên bố đơn nguyên 0 + a = a.

Kế tiếp

Trong ngữ cảnh của các số nguyên, việc cộng một cũng đóng một vai trò đặc biệt: với bất kỳ số nguyên a nào, số nguyên (a + 1) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn a, còn được gọi là số kế tiếp của a. Ví dụ, 3 là số kế tiếp của 2 và 7 là số kế tiếp của 6. Vì tính kế tiếp này, giá trị của a + b cũng có thể được xem là số kế tiếp thứ b của a, tạo ra sự kế tiếp lặp lại. Ví dụ, 6 + 2 bằng 8, vì 8 là số kế tiếp của 7, là kế tiếp của 6, nên 8 là số kế tiếp thứ 2 của 6.

Đơn vị

Để cộng các số có đơn vị vật lý, chúng phải được thể hiện bằng các đơn vị giống nhau. Ví dụ, cộng 50 ml vào 150 ml bằng 200 ml. Tuy nhiên, nếu độ dài 5 feet được kéo dài thêm 2 inch thì tổng là 62 inch, vì 60 inch tương đương với 5 feet. Mặt khác, thường là vô nghĩa khi cố gắng cộng 3 met với 4 met vuông, vì các đơn vị đó không thể so sánh được.